Una introducción a la geometría diferencial de curvas y superficies / Javier Nelson Rosales Gómez.

Licenciado en Matemáticas.

En el presente trabajo estudiaremos conceptos basicos de la geometra diferencial clasica de curvas y supercies, haciendo enfasis en la geometra diferencial de super- cies. A groso modo, la geometra diferencial clasica estudia las propiedades locales de curvas y supercies, entendiendo como propiedades locales a aquellas propiedades que dependen del comportamiento de curvas y supercies en las proximidades de un punto. El trabajo consta de 5 capitulos. En el captulo 1, a manera de preambulo, repasaremos brevemente las deniciones tales como parametrizaciones, recta tangente, sistema de referencia movil, curvatura y torsion y los resultados mas sustanciales sobre la geometra diferencial de curvas, como el teorema fundamental de la teora local de curvas. Empezaremos el estudio de supercies en el captulo 2, deniendo para ello cartas, el plano vectorial tangente y orientacion en supercies para dar paso al estudio de la geometra intrnsica en el captulo 3, con la primera forma fundamental que nos proporciona una manera de reducir el problema de la medida de distancias o longitudes en una supercie al mismo problema en el plano, siguiendo con la idea de distancia intrnsica, medida de areas de regiones y para nalizar con el concepto de parametrizacion geodesica e isometras, idea en que se fundamenta la geometra intrnsica. El captulo 4 trata sobre la aplicacion de Gauss y tiene como nalidad, el concepto de curvatura en supercies, diferenciando la curvatura Gaussiana de la curvatura media. En el captulo 5 se muestran resultados concretos acerca de como encontrar super cies, teniendo solo conceptos denidos en los captulos anteriores, como el de la primera forma fundamental y el teorema de existencia y unicidad de supercies de Bonnet, dando paso a dos teoremas de tama~na importancia y belleza, en la geometra diferencial como lo son los teoremas de Gauss para triangulos geodesicos y el teorema de Gauss-Bonnet, que conectan en una supercie su geometra (en el sentido de la curvatura) con su topologa (en el sentido de la caracterstica de Euler). El lector podra recurrir a [1] para a las demostraciones de las proposiciones y teoremas del captulo sobre Preliminares sobre Curvas.