Métodos tipo secantes sobre variedades riemannianas / Gustavo L. Di Giorgi Armas.

Magíster en Matemáticas.

Recientemente, ha habido un creciente interés en el estudio de algoritmos numéricos para encontrar singularidades de campos vectoriales sobre variedades Riemannianas, véase, por ejemplo, [1, 5, 6, 13, 14, 20, 26, 29, 30, 37, 39, 44, 50]. Más específicamente, el estudio de los métodos sobre variedades Riemannianas comenzaron en 2002 con el trabajo de de O. Ferreira y B. Svaiter [30], donde extendierón el método de Kantorovich (Newton) a este contexto. Posteriormente en 2003 y 2006 J.P.Dedieu, P. Priouret, G. Malajovich, Li, C. y Wang, J. [43, 44], utilizando el trabajo de O. Ferreira y B. Svaiter, generalizaron las α-Teoría y γ-Teoría de Smale al contexto de iteracciones intrínsecas tipo Newton sobre variedades geodésicamente completas, ver [21]. Más tarde, Ioannis K. Argyros en [14] debilitó las hipótesis de la convergencia del Método de Newton en variedades Riemannianas. En el mismo sentido podemos ver las obras presentadas en [13, 20, 26]. En 2009 Ionnais. K. Argyros y posteriormente en 2013, Jinsu He, Jinhua Wang y Jen-Chih Yao, estudiaron el método de Newton sobre grupos de Lie, ver [8, 18]. En 2011, en su tesis doctoral [33], R. Castro extendió al contexto de variedades Riemannianas varios métodos, incluyendo entre ellos el método simplificado de Kantorovich [34], en el que la derivada covariante es la misma en cada paso. Extendió un método de tercer orden libre de operadores bilineales en el que fue necesario introducir el concepto de diferencias divididas en el contexto de variedades Riemannianas [37] y mostro la convergencia de algunos métodos clásicos de tercer orden a dicho contexto [38, 40]. Es relevante mencionar que el m´etodo de Newton sobre variedades Riemannianas ya ha sido utilizado por Roy L. Adler para estudiar el modelo geométrico de la columna vertebral humana, ver [1].